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Le 18 septembre 1783 meurt Leonhard Euler
à 76 ans à St Pétersbourg dans l'empire Russe, né le 15 avril 1707 à Bâle Suisse, mathématicien et physicien suisse, qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne. Il était notamment membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin.
Euler fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique. Il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
Euler est considéré comme un éminent mathématicien du XVIIIe siècle et l'un des plus grands et des plus prolifiques de tous les temps. Une déclaration attribuée à Pierre-Simon de Laplace exprime l'influence d'Euler sur les mathématiques : « Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous». Il était un fervent chrétien, croyant en l'inerrance biblique, et s'opposa avec force aux athées éminents de son temps.
En bref
Avec Joseph-Louis Lagrange, son émule plus jeune, Leonhard Paul Euler est l'un des deux géants mathématiques qui ont dominé la science du XVIIIe siècle. Ses travaux, d'une abondance inégalée, couvrent tout le champ des mathématiques, de la mécanique céleste et de la physique de son époque. Il a renouvelé l'articulation entre les secteurs mathématiques, fixé la plupart des notations du calcul infinitésimal que nous utilisons encore, développé la théorie des nombres de Fermat et systématisé la géométrie analytique de Descartes tout en l'étendant du plan à l'espace ; en mécanique et en élasticité, il a été le premier à pouvoir utiliser les développements contemporains de l'analyse (dont beaucoup lui étaient dus) en les conjuguant avec les principes de la physique newtonienne sur des bases théoriques solides.
Né à Bâle d'un père pasteur, Paul Euler (1670-1745), qui avait étudié les mathématiques avec Jacques Bernoulli, le jeune Leonhard Euler, que son père destinait au ministère religieux, reçut une éducation très complète en théologie, langues orientales, médecine, physique, astronomie et mathématiques ; il étudia cette dernière science avec Jean Bernoulli et se lia d'amitié avec les deux fils, Nicolas et Daniel, de son maître. En 1727, il fut attiré à Saint-Pétersbourg par Nicolas et Daniel Bernoulli, pour siéger à l'Académie que l'impératrice Catherine Ire venait de fonder en 1725 ; un poste lui était offert dans la section de médecine et de physiologie. En 1730, il obtenait un poste en philosophie naturelle ; après la mort de Nicolas et le départ pour Bâle de Daniel Bernoulli en 1733, Euler se trouvait le principal mathématicien à Saint-Pétersbourg : il était déjà connu pour de nombreux ouvrages, dont un avait été primé par l'Académie des sciences de Paris en 1724 (sur la théorie des marées, prix partagé avec C. Maclaurin et D. Bernoulli). La perte de son œil droit en 1735 ne diminua pas son intense activité scientifique. À l'appel de Frédéric II, il se rendit à Berlin en 1741 pour faire partie de l'Académie de cette ville ; il n'y fut pas estimé à sa juste valeur et préféra retourner à Saint-Pétersbourg en 1766, année où il ressentit les premiers symptômes de la cataracte qui devait lui ôter l'usage de son œil gauche, malgré une opération en 1771, et le rendre aveugle pour les douze dernières années de sa vie. Sa cécité ne l'empêcha pas de continuer à travailler et à rédiger des mémoires qu'il dictait à des personnes de son entourage. Il mourut subitement en 1783, laissant derrière lui une œuvre scientifique d'une ampleur inégalée, dont le catalogue (établi par G. Eneström en 1910-1913) ne comporte pas moins de 886 titres ; ses œuvres complètes comprennent près de quatre-vingts volumes. Christian Houzel
Sa vie
Leonhard Euler naquit à Bâle1 de Paul Euler, pasteur des Églises réformées et de Marguerite Brucker, fille de pasteur. Il eut deux jeunes sœurs du nom d'Anna Maria et de Maria Magdalena4. Peu de temps après la naissance de Leonhard, la famille Euler déménagea de Bâle pour rejoindre la ville voisine de Riehen, où Euler passa la plus grande partie de son enfance. Paul Euler était un ami de la famille Bernoulli — Jean Bernoulli, alors considéré comme le principal mathématicien européen, pourrait être celui ayant eu la plus grande influence sur le jeune Leonhard. L'éducation officielle d'Euler commença tôt à Bâle, où il fut envoyé vivre avec sa grand-mère maternelle. À l'âge de treize ans, il s'inscrivit à l'université de Bâle, et en 1723 obtint sa maîtrise de philosophie Magister Philosophiae, grâce à une dissertation qui comparait la philosophie de Descartes à celle de Newton. À cette époque, il recevait tous les samedis après-midi des leçons de Jean Bernoulli, qui découvrit rapidement chez son nouvel élève un incroyable talent pour les mathématiques5. Euler commença alors à étudier la théologie, le grec et l'hébreu à la demande de son père, afin de devenir pasteur, mais Jean Bernoulli convainquit Paul Euler que Leonhard était destiné à devenir un grand mathématicien. En 1727, il participa au concours de l'Académie des sciences de Paris qui consistait à résoudre un problème scientifique. Cette année-là, le problème était de trouver la meilleure façon de placer les mâts d'un navire. Euler remporta la deuxième place, derrière Pierre Bouguer, qui est maintenant connu comme le « père de l'architecture navale ». Par la suite, Euler gagna ce prestigieux prix annuel douze fois dans sa carrière.
Saint-Pétersbourg
À cette époque, les deux fils de Jean Bernoulli, Daniel et Nicolas, travaillaient à l'Académie des sciences de Russie à Saint-Pétersbourg. En juillet 1726, Nicolas mourut de l'appendicite, après avoir passé un an en Russie, et quand Daniel reprit les positions de son frère en mathématiques et en physique, il recommanda que le poste en physiologie qu'il avait laissé vacant fût comblé par son ami Leonhard Euler. En novembre 1726, Euler accepta l'offre avec empressement, mais fit le voyage à Saint-Pétersbourg avec retard, après avoir postulé en vain à un poste de professeur de physique à l'université de Bâle.
Euler arriva dans la capitale russe le 17 mai 1727. Occupant d'abord un poste au département médical de l'académie, il fut ensuite affecté au département de mathématiques. Il logeait auprès de Daniel Bernoulli, avec qui il travaillait souvent en étroite collaboration. Euler maîtrisait le russe et s'installa à Saint-Pétersbourg. Il prit également un emploi additionnel de médecin dans la marine russe.
Créée par Pierre le Grand, l'Académie de Saint-Pétersbourg était destinée à améliorer l'éducation en Russie et à combler le retard scientifique qui la séparait de l'Europe occidentale. En conséquence, elle était particulièrement intéressante pour les étudiants étrangers comme Euler. L'académie possédait suffisamment de ressources financières et une bibliothèque complète tirée de la bibliothèque privée de Pierre le Grand et de la noblesse russe. Très peu d'étudiants étaient inscrits dans l'Académie, de façon à diminuer la charge des professeurs, à mettre l'accent sur la recherche et à offrir à son corps professoral à la fois le temps et la liberté d'effectuer des recherches scientifiques.
Catherine Ire de Russie, qui poursuivait la politique de son défunt mari, décéda le jour de l'arrivée d'Euler. La noblesse russe prit alors le pouvoir lors de l'ascension de Pierre II de Russie, âgé de douze ans. La noblesse se méfiait des chercheurs étrangers ; elle réduisit le financement et causa d'autres difficultés à Euler et à ses collègues. Leurs conditions de travail s'améliorèrent légèrement à la mort de Pierre II ; Euler put donc rapidement gravir les échelons dans l'Académie, jusqu'à devenir professeur de physique en 1731. Deux ans plus tard, Daniel Bernoulli, lassé de la censure et de l'hostilité dont il faisait l'objet à Saint-Pétersbourg, partit pour Bâle. Euler lui succéda alors à la tête du département de mathématiques.
Le 7 janvier 1734, il épousa Katharina Gsell 1707-1773, fille du peintre Georg Gsell. Le jeune couple acheta une maison sur la Neva. De leurs treize enfants, cinq seulement atteignirent l'âge adulte13. Leonhard Euler, après le décès de Katharina Gsell en 1773, épouse l'année suivante une demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell 1723-1794, fille de Dorothea Graff 1678-1743 et de Georg Gsell 1673-1740. Dorothea Graff, fille de Maria Sibylla Merian était comme elle peintre et naturaliste, et avait accompagné sa mère dans ses expéditions au Surinam. Son mari, Georg Gsell, peintre et marchand d'art, recruté par Pierre le Grand en 1716, devint conservateur de la Kunstkamera).
Berlin
Préoccupé par la persistance des troubles en Russie, Euler quitta Saint-Pétersbourg le 19 juin 1741 pour occuper un poste à l'Académie de Berlin, qui lui était proposé par Frédéric II de Prusse. Il vécut pendant vingt-cinq ans à Berlin, où il écrivit plus de 380 articles. À Berlin, il publia deux célèbres ouvrages : l'Introductio in analysin infinitorum (« Introduction à l’analyse des infiniment petits »), un texte sur les fonctions publié en 1748 et Institutiones calculi differentialis (« Traité du calcul différentiel »), publié en 1755 et traitant du calcul différentiel.
En outre, Euler fut invité à être le professeur de la princesse d'Anhalt-Dessau, la nièce de Frédéric II. Euler lui écrivit plus de 200 lettres, qui furent ensuite rassemblées dans un best-seller intitulé Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie. Cet ouvrage contient des publications d'Euler sur divers sujets se rapportant à la physique et aux mathématiques, mais également sur des sujets philosophiques. Ce livre est devenu le plus largement lu de tous ses travaux mathématiques, et il a été publié en Europe et aux États-Unis. La popularité des « Lettres » témoigne de la capacité d'Euler à communiquer efficacement sur les questions scientifiques au public, une capacité rare pour un chercheur scientifique.
Malgré l'immense contribution d'Euler au prestige de l'Académie, il fut finalement contraint de quitter Berlin, en partie à cause d'un conflit de personnalité avec Frédéric II. En effet, le monarque avait moins de considération pour Euler que pour son cercle de philosophes. Voltaire faisait partie de ceux qui étaient aux côtés de Frédéric II, et il eut une bonne place dans le cercle du roi. Euler, simple homme religieux et travailleur acharné, était très classique dans ses convictions et ses goûts. Il fut, à bien des égards, l'opposé de Voltaire. Euler avait une formation limitée en rhétorique, et avait tendance à débattre sur des questions qu'il connaissait peu, faisant de lui une cible fréquente de l'esprit de Voltaire17. Frédéric II exprima également sa déception vis-à-vis des capacités d'ingénierie d'Euler :
Je voulais avoir un jet d'eau dans mon jardin : Euler a calculé la force des roues nécessaire afin d'élever l'eau jusqu'à un réservoir, d'où elle doit redescendre à travers des canaux, pour enfin sortir de la fontaine. Mon moulin a été réalisé géométriquement mais ne peut pas élever une goutte d'eau à moins de cinquante pas du réservoir. Vanité des vanités ! Vanité de la géométrie !
Déclin de la vue
Portrait de 1753 par Emanuel Handmann. Cette représentation indique des problèmes de la paupière droite et un possible strabisme. L'œil gauche semble en bonne santé, mais il a plus tard été affecté par une cataracte.
La vue d'Euler empira tout au long de sa carrière en mathématiques. Trois ans après avoir souffert d'une fièvre quasi mortelle en 1735, il devint presque aveugle de l'œil droit. Euler attribua plutôt son état au travail minutieux qu'il avait effectué en cartographie pour l'Académie de Saint-Pétersbourg. La vue d'Euler de l'œil droit empira tout au long de son séjour en Allemagne, si bien que Frédéric II le surnommait « Cyclope ». Euler souffrit ensuite d'une cataracte de l'œil gauche, le rendant presque totalement aveugle. Il semble que ce mauvais état ait eu peu d'effet sur sa productivité, Euler ayant compensé son handicap par ses compétences en calcul mental et par sa mémoire eidétique. Par exemple, Euler pouvait répéter l'Énéide de Virgile, du début à la fin, sans hésitation, et pour chaque page de son édition, il pouvait citer la première ligne et la dernière. Avec l'aide de ses scribes, la productivité d'Euler dans de nombreux domaines d'étude augmenta en fait. Ainsi, il produisit en moyenne un document de mathématiques par semaine au cours de l'année 1775.
Retour en Russie
La situation en Russie s'était grandement améliorée depuis l'accession au trône de Catherine II de Russie ; en 1766, Euler accepta une invitation à revenir à l'Académie de Saint-Pétersbourg. C'est ainsi qu'il passa le reste de sa vie en Russie. Son second séjour dans le pays fut cependant marqué par la tragédie. Un incendie à Saint-Pétersbourg en 1771 lui coûta son domicile, et faillit lui ôter la vie. En 1773, il perdit son épouse de 40 ans. Trois ans après la mort de sa femme, Euler se remaria avec la demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell (1723-1794). Ce mariage allait durer jusqu'à sa mort.
Le 18 septembre 1783, Euler décéda à Saint-Pétersbourg d'une hémorragie intra-cérébrale et fut enterré avec son épouse au cimetière luthérien de Smolensk sur l'île Vassilievski au XXe siècle le cimetière a été fermé, les restes d'Euler ont été transférés au cimetière Saint-Lazare du monastère Alexandre-Nevski). Son éloge funèbre fut écrit pour l'Académie française par le mathématicien et philosophe français Nicolas de Condorcet. Le récit de sa vie, avec une liste de ses œuvres, fut écrit par Nikolaus von Fuss, le beau-fils d'Euler et le secrétaire de l'Académie des sciences de Russie. Condorcet écrit dans son Éloge : « … il cessa de calculer et de vivre26 ».
Contributions aux mathématiques
Leonhard Euler a travaillé dans presque tous les domaines des mathématiques : la géométrie, le calcul infinitésimal, la trigonométrie, l'algèbre et la théorie des nombres. Il est une figure capitale de l'histoire des mathématiques : s'ils étaient imprimés, ses écrits, dont beaucoup sont d'un intérêt fondamental, pourraient occuper entre quarante et soixante ouvrages. Le nom d'Euler est associé à un grand nombre de sujets.
Notation mathématique
Euler a introduit et popularisé plusieurs conventions de notation par le biais de ses nombreux ouvrages largement diffusés. Plus particulièrement, il a introduit la notion de fonction2 et a été le premier à écrire f ( x ) {\displaystyle f(x)} pour désigner la fonction f {\displaystyle f} appliquée à l'argument x {\displaystyle x} , en 1734. Il a également introduit la notation moderne des fonctions trigonométriques, la lettre e pour la base du logarithme naturel également connue sous le nom de nombre d'Euler en 1727, la lettre grecque Σ pour désigner une somme en 175527 et la lettre i pour représenter l'unité imaginaire, en 1777. L'utilisation de la lettre grecque π pour désigner le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre a également été popularisée par Euler, mais celui-ci n'est pas à l'origine de la notation.
Analyse
Le développement du calcul infinitésimal a été au premier plan des recherches mathématiques du XVIIIe siècle, et la famille Bernoulli — amis d'Euler — est à l'origine de nombreux progrès dans ce domaine. Grâce à leur influence, l'étude du calcul infinitésimal est devenu l'un des axes principaux du travail d'Euler. Bien que certaines des démonstrations d'Euler ne soient pas acceptables au regard des normes modernes de rigueur mathématique, ses idées ont tout de même conduit à de grandes avancées.
Euler est bien connu dans le domaine de l'analyse pour son usage fréquent des séries numériques et des séries entières. Il a notamment montré que le nombre e {\displaystyle \mathrm {e} } est la somme de la série de terme général 1 n ! {\displaystyle {\dfrac {1}{n\,!}}} :
e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + ⋯ + 1 n ! ) ⋅ {\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n\,!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0\,!}}+{\frac {1}{1\,!}}+{\frac {1}{2\,!}}+\cdots +{\frac {1}{n\,!}}\right)\cdot }
Il a trouvé le « développement en série entière » de la fonction exponentielle :
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) ⋅ {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n\,!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0\,!}}+{\frac {x}{1\,!}}+{\frac {x^{2}}{2\,!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n\,!}}\right)\cdot }
et celui de la fonction arc tangente.
Sa ténacité à utiliser les développements en séries lui a permis de résoudre le fameux problème de Bâle en 1735 :
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) = π 2 6 ⋅ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\cdot }
Euler est pleinement conscient de la nécessité de démontrer rigoureusement les résultats de convergence dont il se sert, mais cela ne l'empêche pas d'écrire également des formules « paradoxales » telle que 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = − 1 {\displaystyle 1+2+4+8+16+\dots =-1} , de définir des règles d'emploi et de calcul avec de telles séries divergentes, et de les utiliser pour obtenir des résultats inattendus concernant, par exemple, la fonction zêta.
Une interprétation géométrique de la formule d'Euler
Euler a introduit l'utilisation de la fonction exponentielle et des logarithmes dans les démonstrations en analyse. Il a découvert des moyens d'exprimer différentes fonctions logarithmiques en utilisant les séries entières, et il a étendu la notion de logarithme aux nombres négatifs et aux nombres complexes. Il a également défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes, et a découvert la relation qui la lie aux fonctions trigonométriques :
pour tout réel φ {\displaystyle \varphi } , e i φ = cos ( φ ) + i sin ( φ ) . {\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \,\sin(\varphi ).\,}
Un cas particulier de cette « formule d'Euler », obtenu en donnant à φ {\displaystyle \varphi } la valeur π {\displaystyle \pi } est
e i π = − 1 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\pi }=-1\ } , qu'on préfère souvent écrire : e i π + 1 = 0 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\pi }+1=0\,}
formule connue sous le nom d'identité d'Euler, et qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques » par Richard Feynman, car elle réunit en seulement 7 caractères l'addition, la multiplication, l'exponentiation, l'égalité et les constantes remarquables 0, 1, e {\displaystyle \mathrm {e} } , i {\displaystyle \mathrm {i} } et π {\displaystyle \pi } . En 1988, les lecteurs de The Mathematical Intelligencer l'ont désignée comme « la plus belle formule mathématique de tous les temps ». Au total, le nom d'Euler figurait dans trois des cinq formules arrivées en tête de ce vote.
La formule de De Moivre
( cos ( x ) + i sin ( x ) ) n = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle (\cos(x)+\mathrm {i} \,\sin(x))^{n}=\cos(nx)+\mathrm {i} \,\sin(nx)~}
est une conséquence directe de la formule d'Euler.
En outre, Euler a contribué à la théorie des fonctions transcendantes avec l'introduction de la fonction bêta et de la fonction gamma. Il a également introduit une nouvelle méthode pour résoudre les équations quartiques. Il a aussi trouvé une façon de calculer des intégrales avec des limites complexes, préfigurant le développement moderne de l'analyse complexe, et a inventé le calcul des variations, qui inclut l'un de ses résultats les plus célèbres, nommé l'équation d'Euler-Lagrange.
Euler fut le pionnier de l'utilisation de méthodes d'analyse pour résoudre des problèmes de la théorie des nombres. Ce faisant, il a réuni deux branches différentes des mathématiques et introduit un nouveau champ d'étude : la théorie analytique des nombres. Euler a aussi introduit la théorie des séries hypergéométriques, des fonctions hyperboliques et la théorie analytique des fractions continues. Par exemple, il a prouvé l'infinité des nombres premiers en utilisant la divergence de la série harmonique, et il a utilisé les méthodes analytiques pour avoir une meilleure compréhension de la répartition des nombres premiers. Les travaux d'Euler dans ce domaine ont contribué à l'élaboration du théorème des nombres premiers.
Théorie des nombres
L'intérêt d'Euler dans la théorie des nombres peut être attribué à l'influence de Christian Goldbach, son ami35 à l'Académie de Saint-Pétersbourg. Un grand nombre des premiers travaux d'Euler en théorie des nombres est fondé sur les travaux de Pierre de Fermat. Euler a développé quelques idées de Fermat, et a réfuté certaines de ses conjectures.
Euler a fait le lien entre la distribution des nombres premiers et l'analyse. Il a démontré que la série des inverses des nombres premiers diverge. Pour ce faire, il a découvert le lien entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers.
Euler a démontré les identités de Newton, le petit théorème de Fermat, le théorème des deux carrés de Fermat, et il a également travaillé sur le théorème des quatre carrés de Lagrange. Il a aussi défini la fonction φ {\displaystyle \varphi } qui associe à tout entier n {\displaystyle n} le nombre d'entiers positifs inférieurs à n {\displaystyle n} et qui sont premiers avec n . {\displaystyle n.} En utilisant les propriétés de cette « indicatrice », il a généralisé le petit théorème de Fermat pour aboutir à ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème d'Euler. Il a contribué de manière significative à la recherche sur les nombres parfaits, qui ont fasciné les mathématiciens depuis Euclide. Euler a également conjecturé la loi de réciprocité quadratique. Cet énoncé est considéré comme un théorème fondamental de la théorie des nombres, et en cela Euler a ouvert la voie aux travaux de Carl Friedrich Gauss.
En 1772, Euler a démontré que 2 31 − 1 = {\displaystyle 2^{31}-1=} 2 147 483 647 est un nombre de Mersenne premier. Il est resté le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1867.
Géométrie
Comme dans les autres domaines des mathématiques, les contributions d'Euler à la géométrie sont exceptionnelles : angles d'Euler, droite d'Euler, cercle d'Euler, relation entre cercle inscrit et circonscrit, etc.
À titre d'exemple, il a montré que, pour tout triangle, les neuf points suivants :
les pieds des trois hauteurs H1 H2 H3 dans le diagramme
les milieux des trois côtés I1 I2 I3 dans le diagramme
les milieux de chacun des segments reliant l'orthocentre aux sommets du triangle J1 J2 J3 dans le diagramme
sont situés sur un même cercle39. Ce « cercle des neuf points » est encore appelé « cercle d'Euler » associé au triangle.
Il a démontré aussi que, dans tout triangle, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et le centre du cercle des neuf points sont alignés. La droite qui les porte est appelée « droite d'Euler » associée au triangle.
Cercle et droite d'Euler d'un triangle quelconque
Théorie des graphes, Problème des sept ponts de Königsberg.
Carte de Königsberg au temps d'Euler, montrant le schéma réel de disposition des sept ponts
En 1736, Euler résolut le problème des sept ponts de Königsberg40. La ville de Königsberg, en Prusse, est traversée par la rivière Pregolia, qui entoure deux grandes îles reliées entre elles et aux deux rives par sept ponts. Le problème était de savoir s'il est possible de suivre un chemin qui emprunte chaque pont une fois et une seule et revienne au point de départ. Euler a établi que, pour que ce soit possible, il aurait fallu que chacune des quatre zones géographiques les deux îles et les deux rives soit atteinte par un nombre pair de ponts — en termes modernes : que chacun des quatre « sommets » du « graphe » soit adjacent à un nombre pair d'« arêtes » un graphe ayant cette propriété est dit « eulérien ». La résolution de ce problème est considérée comme le premier théorème de la théorie des graphes.
Euler a également établi la formule S − A + F = 2 {\displaystyle S-A+F=2} liant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe, et donc d'un graphe planaire. La constante de cette formule est maintenant connue comme la caractéristique d'Euler pour un graphe ou pour un autre objet mathématique, et est liée au genre de l'objet. L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy44 et L'Huillier45, est à l'origine de la topologie.
En outre, Leonhard Euler est le premier à avoir étudié le problème du cavalier, en 1759. Il publiera ses recherches sur la question dans Solution d'une question curieuse qui ne paraît soumise à aucune analyse.
Mathématiques appliquées
Certains des plus grands succès d'Euler ont été dans la résolution des problèmes analytiques dans des domaines autres que les mathématiques et dans la description de nombreuses applications des nombres de Bernoulli, des séries de Fourier, des diagrammes de Venn, des nombres d'Euler, des constantes e et π, des fractions continues et des intégrales. Il a développé des outils qui rendent plus faciles à appliquer certains problèmes physiques. Il a fait progresser le domaine de l'amélioration de l'approximation numérique d'intégrales, en inventant ce qui est maintenant connu sous le nom de méthode d'Euler. Euler a également démontré, en même temps que l'écossais Colin Maclaurin — mais bien indépendamment — la formule d'Euler-Maclaurin. Il a aussi facilité l'utilisation des équations différentielles, en particulier en introduisant la constante d'Euler-Mascheroni :
γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ( n ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).
Un des domaines les moins communs qui intéressaient Euler était l'application des idées mathématiques à la musique. En 1739, il écrivit Tentamen novae theoriae musicae, dans l'espoir de finalement intégrer la théorie musicale aux mathématiques. Cette partie de son travail, cependant, n'a pas reçu une grande attention et a été décrite comme trop mathématique pour les musiciens mais aussi trop musicale pour les mathématiciens. On y trouve cependant le tout premier exemple de théorie des graphes avec une disposition des notes couramment utilisée de nos jours en analyse musicale, le Tonnetz, mieux développé dans De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis en 1774.
Mathématiques
Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l'Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opère une refonte dans le mode d'exposition de ces questions : il met au premier plan le concept de fonction, défini de façon formelle comme « une expression analytique composée d'une manière quelconque d'une quantité variable et de nombres ou de quantités constantes ». Cette définition reprend celle que Jean Bernoulli avait déjà donnée (le terme avait été introduit par Leibniz) ; l'originalité d'Euler tient dans le rôle fondamental qu'il fait jouer à ce concept, qui n'était que marginal avant lui. Le premier livre de l'Introductio est consacré au calcul « algébrique » sur les fonctions, étant entendu qu'Euler considère encore comme algébriques les procédures infinies qui étendent les opérations usuelles : séries et produits infinis, fractions continues ; au second livre, il applique les méthodes et les résultats du premier livre à des problèmes de géométrie (étude des courbes algébriques ou transcendantes, surfaces, changements d'axes de coordonnées). Il y a là un renversement très important par rapport aux traités antérieurs dans lesquels le calcul était au contraire tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio ( chap. VI à VIII) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a > 0 est une constante) est définie par interpolation pour z réel, entre les valeurs rationnelles de z, et le logarithme est défini comme fonction inverse de l'exponentielle (ce qui est nouveau) ; les fonctions circulaires sin et cos sont, pour la première fois, considérées comme des fonctions d'une variable réelle (ou même complexe) et non plus comme des lignes qui dépendent d'un angle ; elles sont liées à l'exponentielle par les célèbres formules d'Euler :
où se trouvent le nombre e, base des logarithmes népériens (la notation e pour ce nombre est due à Euler, qui l'employait depuis 1728), et l'unité imaginaire − 1, notée ici i comme Euler l'a fait plus tard, en 1777. Un autre nombre célèbre, le rapport de la circonférence au diamètre, avait été noté π par W. Jones en 1706, mais c'est Euler qui a imposé cette notation à l'usage des mathématiciens ; il est lié aux précédents par la célèbre formule eiπ = − 1 écrite par Euler. Cette formule attribue le logarithme imaginaire iπ au nombre − 1, contrairement à ceux qui croyaient pouvoir déduire de l'égalité lg(− 1)2 = lg(+ 1)2 celle des logarithmes de 1 et de − 1. Le paradoxe précédent avait été résolu par Euler, qui avait montré que chaque nombre (réel ou complexe) a une infinité de logarithmes qui diffèrent entre eux par un multiple entier arbitraire de 2iπ ; dans le cas d'un nombre réel positif, un seul des logarithmes a une valeur réelle. À propos des logarithmes, Euler remarque que, lorsque a et b sont rationnels, lgab n'est ni rationnel (sauf si b est une puissance entière de a), ni la racine carrée d'un nombre rationnel ; c'est la base du septième problème de Hilbert, résolu en 1934 par Gelfond et Schneider (cf. HILBERT).
Euler était exceptionnellement doué pour le calcul, aussi bien numérique que formel. Dans l'Introductio, il manipule les séries et les produits infinis d'une façon prodigieuse et il trouve des résultats très remarquables, comme le développement de sin z en produit infini :
qui lui donne les sommes des séries :
sous la forme Anπ2n, avec An rationnel, dont Euler donne la valeur numérique pour 1 ≤ n ≤ 13. Le cas n = 1 était un problème célèbre, qui avait résisté à Jacques Bernoulli, et dont Euler avait communiqué la solution à D. Bernoulli vers 1736 ; dans le cas général, Euler a découvert plus tard le lien entre les coefficients An et les nombres de Bernoulli (Institutiones calculi differentialis, 2e part., chap. V). Il avait aussi calculé les valeurs numériques de :
pour 1 ≤ n ≤ 5, et leurs rapports respectifs à π2n+1, sans y reconnaître des nombres rationnels remarquables ; on sait depuis (Apéry, 1978) que ζ(3) est un nombre irrationnel, mais on n'en sait pas plus. Les nombres de Bernoulli apparaissent aussi dans la formule sommatoire découverte par Euler en 1732-1735 et, indépendamment, par Maclaurin, qui donne un développement asymptotique des sommes partielles d'une série ; pour la série harmonique :
qui est divergente et correspond à ζ(1), Euler trouve que :
est égal à lgn + γ + εn, où εn tend vers 0 pour n infini et γ = 0,577 215 664 9... est une constante connue sous le nom de constante d'Euler, dont on ne sait toujours pas si elle est rationnelle ou irrationnelle. Au chapitre XV de l'Introductio, Euler transforme la série ζ(s), s entier, en un produit infini faisant intervenir la suite des nombres premiers ; la divergence de ζ(1) lui donne alors non seulement l'infinitude des nombres premiers, mais encore la divergence de la série des inverses des nombres premiers, et même un équivalent lglgn pour la somme des n premiers termes de cette série. Ailleurs, il trouve une relation remarquable entre ζ(s) et la somme qu'il attribuait formellement à la série divergente ζ(1 − s) [s entier ≥ 2] ; cette équation fonctionnelle de la fonction zêta devait être démontrée au XIXe siècle, pour s complexe, par Malmsten, puis par Riemann qui en reconnut l'importance et fonda sur elle l'étude de la répartition des nombres premiers.
Euler avait découvert encore d'autres relations entre les produits ou les séries infinies et la théorie des nombres, par exemple à propos du problème des partitions d'entiers en sommes d'entiers (Introductio, chap. XVI) et du produit :
qu'il avait su transformer en une série entière dont les exposants sont les nombres pentagonaux.
D'autres contributions importantes d'Euler concernent le calcul intégral, comme la résolution générale des équations différentielles linéaires à coefficients constants, la formule d'addition pour les intégrales elliptiques, la découverte des intégrales appelées maintenant eulériennes, dont l'une réalise l'interpolation de n ! pour des valeurs non entières de n, l'étude de l'équation hypergéométrique et son intégration par une série entière, la résolution de nombreuses équations différentielles ou aux dérivées partielles par la méthode du facteur intégrant et les équations du calcul des variations. Comme d'Alembert l'avait reconnu à propos des cordes vibrantes en 1747, l'intégration d'une équation aux dérivées partielles fait intervenir des fonctions « arbitraires » (et non plus seulement des constantes arbitraires, comme pour les équations différentielles ordinaires) ; l'origine physique du problème conduisit Euler à prendre pour ces fonctions arbitraires des fonctions plus générales que celles de l'Introductio, définies par un graphe quelconque tracé à main libre, et non plus nécessairement par des expressions analytiques. Il s'ensuivit une controverse entre d'Alembert, Euler et D. Bernoulli, qui posa le problème du développement d'une fonction arbitraire en série trigonométrique ; une partie importante des recherches du XIXe siècle a tourné autour de ces questions.
À son époque, Euler était à peu près le seul à s'intéresser à la théorie des nombres. Tout au long de sa carrière, il a essayé de prouver les résultats laissés par Fermat sans démonstration : c'est ainsi qu'il démontra le petit théorème de Fermat, selon lequel ap-1 − 1 est divisible par p si p est un nombre premier et si a n'est pas divisible par p, et qu'il en trouva une généralisation. Pour le « dernier » théorème de Fermat, sur l'impossibilité de l'équation xn + yn = zn pour n ≥ 3, Euler donna une démonstration dans le cas de n = 3, en admettant pour les nombres complexes de la forme a + b− 3, avec a et b entiers, des propriétés arithmétiques analogues à celles des entiers ordinaires ; cela préfigure la théorie des entiers algébriques qui devait être développée au XIXe siècle par Kummer, Kronecker et Dedekind. On n'a toujours pas de démonstration valable du théorème pour n quelconque. Euler trouva une démonstration du fait que tout nombre premier de la forme 4n + 1 est somme de 2 carrés, mais laissa à Lagrange la gloire de démontrer que tout entier est somme de 4 carrés. Son habileté au calcul lui permit de trouver que 225 + 1 est divisible par 641, alors que Fermat avait conjecturé que 22n + 1 est toujours premier (c'est vrai pour 0 ≤ n ≤ 4, mais on ne connaît pas d'autre valeur de n pour laquelle ce serait encore vrai) ; il découvrit une soixantaine de paires de nombres amiables et démontra que les nombres parfaits pairs sont tous de la forme déjà connue d'Euclide : 2n-1(2n − 1), avec 2n − 1 premier (on ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs).
Euler s'était aussi posé des problèmes relevant de ce que l'on appelle maintenant la topologie : le problème des ponts de Königsberg et la relation (connue sous le nom de formule d'Euler) entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe.
À côté de ses ouvrages de recherche, Euler publia aussi des livres d'enseignement assez élémentaires, comme sa célèbre Algèbre (publiée en russe en 1768) ; la traduction française a été complétée par des notes de Lagrange sur la théorie des nombres.
Mécanique, physique, astronomie
Euler a publié de nombreux ouvrages relatifs à la technique. En 1736, paraît son traité de mécanique, Mechanica sive motus scientia analytice exposita, où, pour la première fois, la mécanique du point matériel est conçue et exposée comme une science rationnelle. En 1765, il donnera sa Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, où il définit le centre d'inertie, les moments d'inertie et les axes principaux d'inertie, tandis qu'il intègre les équations du mouvement d'un solide de révolution autour d'un point fixe de l'axe ; son fils publiera, en 1790, une édition revue et augmentée de cet ouvrage.
Son traité de 1744, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudens, fonde le calcul des variations, dans la lignée des travaux de Jacques et Jean Bernoulli (l'ouvrage aura sur Lagrange une influence considérable). Un important appendice sur la détermination, par ce type de calcul, du mouvement d'un projectile dans un milieu résistant lui permet de justifier a posteriori le principe de la moindre action, de son ami P.-L. Maupertuis. Citons enfin, dans le domaine de la mécanique, ses études sur les cordes vibrantes ; les discussions qui s'élevèrent entre D. Bernoulli, d' Alembert, Lagrange et lui-même le conduisirent à préciser la notion générale de fonction, sous une forme voisine de celle que l'on adopte maintenant : fonctions « arbitraires » données expérimentalement par un ou plusieurs arcs de courbes.
En hydrostatique, il généralise, en 1755, le principe de A. Clairaut et, la même année, il établit les équations générales de l'hydrodynamique.
Ses travaux d'astronomie se rattachent pour la plupart à la mécanique. L'étude des perturbations mutuelles de Jupiter et de Saturne fut proposée comme sujet de prix par l'Académie des sciences de Paris en 1748 et 1752. Il remporta les deux prix. Sur le mouvement parabolique des planètes, il publia, dès 1744, la formule dite de Lambert liant pour deux positions de l'astre, l'intervalle de temps, la corde et les deux rayons vecteurs.
Dans un travail de 1749 sur la précession des équinoxes, partant d'équations plus simples que celles de d'Alembert, il présente les résultats avec plus d'élégance. En 1753, dans sa théorie du mouvement de la Lune, qu'il améliore en 1772, il cherche à établir toutes les inégalités, remportant à ce sujet les prix de l'Académie des sciences de Paris pour 1770 et 1772.
En optique, Euler, à peu près seul parmi ses contemporains, soutenait une théorie ondulatoire de la lumière, comme on peut le voir dans ses Lettres à une princesse d'Allemagne. Pour lui, revenant aux conceptions de C. Huygens, « la lumière n'est autre chose qu'une agitation ou ébranlement causé par les particules de l'éther », « chaque couleur simple étant attachée à un certain nombre de vibrations qui s'achèvent dans un certain temps ».Jean Itard
Autres sciences
Leonhard Euler a également contribué à d'autres sciences, comme certains domaines des sciences physiques, en étudiant par exemple le mouvement de la Lune.
Physique et astronomie
Euler a contribué à l'élaboration de la théorie d'Euler-Bernoulli, qui est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux. En dehors de l'application avec succès de ses outils d'analyse aux problèmes liés à la mécanique newtonienne, Euler a également appliqué ses techniques à des problèmes d'astronomie. Ses travaux dans cette science ont été reconnus par un certain nombre de prix décernés par l'Académie de Paris au cours de sa carrière. Ses réalisations comprennent la détermination avec une grande précision des orbites des comètes et des autres corps célestes, mais aussi la compréhension de la nature des comètes, et le calcul de la parallaxe du Soleil. Ses calculs ont également contribué à l'élaboration de tables précises de longitudes.
En dynamique des fluides, Euler fut le premier à poser les équations désormais connues sous le nom d'équations d'Euler des fluides parfaits, dans Mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin 1757. Elles permettent le calcul de nombreux écoulements, comme la circulation sanguine, l'aérodynamique des automobiles et des avions, l'hydraulique, l'océanographie, la météorologie ou la grande tache rouge de Jupiter.
En outre, Euler a fait d'importantes contributions en optique. Il a exprimé son désaccord avec la théorie corpusculaire de la lumière de Newton dans Opticks, qui était alors la théorie dominante. Ses documents des années 1740 sur l'optique ont contribué à faire en sorte que la théorie ondulatoire de la lumière proposée par Christian Huygens devienne la théorie la plus largement répandue, au moins jusqu'au développement de la théorie quantique de la lumière.
Il est aussi crédité pour avoir, avec l'aide des courbes fermées, illustré le raisonnement syllogistique, en 1768. Ces schémas sont désormais connus sous le nom de diagrammes d'Euler. Ainsi, le diagramme de gauche illustre le syllogisme suivant :
Illustration d'un syllogisme de la deuxième figure par un diagramme d'Euler.
Aucun prêtre n'est un singe.
Or, les chimpanzés sont des singes.
Donc, les chimpanzés ne sont pas prêtres.
Philosophie personnelle et croyances religieuses
Leonhard Euler et son ami Daniel Bernoulli ont été des adversaires de la Monadologie de Leibniz et de la philosophie de Christian Wolff. Euler a insisté sur le fait que la connaissance est fondée en partie sur la base de lois quantitatives précises. Les tendances religieuses d'Euler pourraient aussi avoir eu une incidence sur son aversion de la doctrine, il est allé jusqu'à qualifier les idées de Wolff de sauvages et athées.
Beaucoup de ce qui est connu des croyances religieuses d'Euler peut être déduit de ses Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie et d'un ouvrage antérieur, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister. Ces écrits montrent qu'Euler était un fervent chrétien qui estimait que la Bible avait été inspirée.
Une anecdote rapportée par Dieudonné Thiébault56 met en scène les croyances religieuses d'Euler. Le philosophe français Denis Diderot, en visite à Saint-Pétersbourg en 1773-1774, avait accepté, à la demande de l'impératrice Catherine II, de voir la preuve de l'existence de Dieu qu'Euler prétendait pouvoir produire. Les deux hommes se rencontrèrent donc et Euler, sur un ton d'une parfaite conviction annonça Monsieur, a + bn/n = x ; donc Dieu existe, répondez ! . Le désarroi de Diderot, pour qui, selon l'anecdote les mathématiques étaient incompréhensibles, provoqua les rires de la cour. Gêné, il demanda à quitter la Russie. Il est plus que probable que l'anecdote soit apocryphe et Thiébault ne prétend pas le contraire. De toute évidence, ce dernier n'était pas présent, ses mémoires sont tardifs, la formule soi-disant donnée par Euler n'a aucun sens et Diderot n'était pas étranger aux mathématiques – comme en atteste la réputation qu'il s'était faite avec ses Mémoires sur différents sujets de mathématiques entre autres.
Publications
La couverture de Methodus inveniendi lineas curvas, écrit par Euler
Leonhard Euler a beaucoup écrit. Ses ouvrages les plus connus sont :
Éléments d'algèbre — Cet ouvrage d'algèbre élémentaire commence par une discussion sur la nature des nombres et donne une introduction à l'algèbre, incluant les formules pour les solutions d'équations polynomiales. Écrit en 1765 en allemand sous le titre Vollständige Anleitung zur Algebra, traduction en russe publiée en 1770 par l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, puis :
1re éd. en allemand en 1770, en 2 volumes ; vol. 1 : E387, vol. 2 : E388 ou 1 ;
traduit en français :
en 1774 par Jean III Bernoulli,
en 1807 par Jean-Guillaume Garnier : vol. 1 et 2 ;
traduit en anglais à partir des versions en français :
en 1797 par Francis Horner 2e éd. : Johnson, 1810, incluant la traduction des Additions de 1774 par Lagrange, aperçu sur Google Livres,
en 1822 par John Hewlett, éd. Longman, aperçu sur Google Livres,
en 1824 par Charles Tayler.
Introductio in analysin infinitorum, Marcum-Michaelem Bousquet & socios, 1748, Livre I :Livre II :
Lettres à une Princesse d'Allemagne, Barthelemy Chirol, Genève, 1775
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, 1744 ; le titre latin se traduit par Une méthode pour trouver des lignes courbes jouissant de propriétés de maximum ou de minimum, ou la solution de problèmes isopérimétrique dans le sens le plus large.
Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quae supersunt E792, 1849 : une introduction à la théorie des nombres, qu'Euler avait commencé à rédiger vers 1750 et annotée plus tard, puis abandonnée.
Une collection définitive des travaux d'Euler, nommée Opera Omnia, a été publiée en 1911 par la Commission Euler de l'Académie suisse des sciences naturelles.
Hommages et distinctions
Euler est représenté sur la sixième série des billets suisses de 10 francs, sur de nombreux timbres postaux suisses, allemands et russes.
L'astéroïde 2002 Euler a été nommé en son honneur.
Euler est également honoré par l'Église luthérienne dans son calendrier des saints, le 24 mai.
   
Posté le : 17/09/2016 19:00
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